RESHALKI.RU Формулы



Онлайн калькулятор
функции...
Формулы по математике

Тригонометрические формулы:

\sin^2{x}+cos^2{x}=1 \\ 2\cos ^2 x = 1 + \cos 2x\qquad\qquad\qquad2\sin ^2 x = 1 - \cos 2x \\ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin ^3 x \qquad\qquad\qquad \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x \\ \sin (x \pm y) = \sin x\cos y \pm \cos x\cos y\\ \cos (x \pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y \\ \sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos (x - y) - \cos (x + y))\\ \cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos (x + y) + \cos (x - y)) \\ \sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin (x + y) + \sin (x - y))

 

Формулы для первых производных различных функций:

a^,=0\qquad\qquad\qquad (ax)^,=a\qquad\qquad\qquad(x^{a})^,=ax^{a-1} \\ (e^x)^,=e^x \qquad\qquad\qquad (\ln{x})^,=\frac{1}{x}\qquad\qquad\qquad(\log_a x)^,=\frac{1}{{x\ln a}}\\ (\sin{x})^,=\cos \qquad\qquad\qquad (\cos{x})^,=-\sin\\ (tgx)^,= \frac{1}{{\cos ^2 x}}\qquad\qquad\qquad(ctgx)^,=- \frac{{1}}{{\sin ^2 x}}\\ (\arcsin x)^, = \frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}\qquad\qquad(\arccos x)^, = -\frac{{1}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \\ (arctgx)^,= \frac{1}{{1 + x^2 }} \qquad\qquad\qquad (arcctgx)^, = -\frac{1}{{1 + x^2 }} \\ (shx)^, = chx \qquad\qquad\qquad (chx)^, = shx\\ (thx)^, = \frac{1}{{ch^2 x}}\qquad\qquad\qquad (cthx)^, = -\frac{1}{sh^2 x} \\ (x^x )^, = x^x (\ln x + 1)
(uv)^, = u^,v + uv^, - производная произведения двух функций
(\frac{u}{v})^, = \frac{u^,v - v^,u}{v^2} - производная отношения двух функций
f(g(x))^,=f^,(g(x))\cdot g^,(x)=f^,_g\cdot g^,_x - производная сложной функции

 

Формулы для производных высших степеней:

(a^x )^{(n)} = a^x \ln ^n a \\ (\sin ax)^{(n)} = a^n \sin (ax + \frac{\pi n}{2}) \\ (\cos ax)^{(n)} = a^n \cos(ax+\frac{\pi n}{2}) \\ ((ax + b)^y )^{(n)} = a^n y(y - 1)...(y - n + 1)(ax + b)^{y - n} \\ (\log _a \left| x \right|)^{(n)} = \frac{{( - 1)^{n - 1} (n - 1)!}}{{x^n }} \\ (au + bv)^{(n)} = au^{(n)} + bv^{(n)} \\ (uv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k u^{n - k} v^k },\qquad\qquad C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} \\ (arctgx)^{(n)} = ( - 1)^k (2k)! \\ d^n y = f^{(n)} (x)dx^n \\ d^n (au + bv) = ad^n u + bd^n v \\ d^n (uv) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k d^{n - k} u \cdot d^k v}

 

Формулы для интегралов:

\int {u\,dv = uv - \int {v\,du}} - интегрирование по частям
\int {\frac{{dx}}{{x + a}}} = \ln \left| {x + a} \right| \\ \int {a^x dx} = \frac{{a^x }}{{\ln a}} \\ \int {\frac{{dx}}{{x^2 + a^2 }} = } \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} \\ \int {\frac{{dx}}{{x^2 - a^2 }} = } \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| \\ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {a^2 - x^2 } }} = } \arcsin \frac{x}{{\left| a \right|}} \\ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + a^2 } }} = } \ln (x + \sqrt {x^2 + a^2 } ) \\ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 - a^2 } }} = } \ln \left| {x + \sqrt {x^2 - a^2 } } \right|

 

Формулы разложения по Тейлору:

e^x = 1 + x + \frac{{x^2 }}{{2!}} + ...\frac{{x^n }}{{n!}} + o(x^n )\\ \frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{(2k - 1)!!}}{{2^k k}}} x^k + o(x^n ) \\ \frac{1}{{1 + x^2 }} = \sum\limits_{k = 0}^n {( - 1)^k x^{2k} + o(x^{2n + 1} )} \\ (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{{a(a - 1)}}{{2!}}x^2 + ... + \frac{{a(a - 1)...(a - n + 1)}}{{n!}}x^n + o(x^n )\quad \\ \ln (1 - x) = - x - \frac{{x^2 }}{2} - \frac{{x^3 }}{3} - ... - \frac{{x^n }}{n} + o(x^n ) \\ \ln (1 + x) = x - \frac{{x^2 }}{2} + \frac{{x^3 }}{3} + ... + \frac{{( - 1)^{n - 1} x^n }}{n} + o(x^n ) \\ \ln (a - bx) = \ln a - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}\left( {\frac{b}{a}} \right)^k x^k } + o(x^n ) \\ \sin x = x - \frac{{x^3 }}{{3!}} + \frac{{x^5 }}{{5!}} + ... + \frac{{( - 1)^n x^{2n + 1} }}{{(2n + 1)!}} + o(x^{2n + 2} ) \\ \cos x = 1 - \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^4 }}{{4!}} + ... + \frac{{( - 1)^n x^{2n} }}{{(2n)!}} + o(x^{2n + 1} ) \\ tgx = x + \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + o(x^6 ) \\ ctgx = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{{x^3 }}{{45}} + o(x^3 ) \\ \arcsin x = x + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{(2k - 1)!!}}{{2^k k!}}x^{2k + 1} + o(x^{2n + 2} )} \\ arctgx = \sum\limits_{k = 0}^n {( - 1)^k \frac{{x^{2k + 1} }}{{2k + 1}} + o(x^{2n + 2} )} \\ shx = x + \frac{{x^3 }}{{3!}} + \frac{{x^5 }}{{5!}} + ... + \frac{{x^{2n + 2} }}{{(2n + 2)!}} + o(x^{2n + 2} ) \\ chx = 1 + \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^4 }}{{4!}} + ... + \frac{{x^{2n} }}{{(2n)!}} + o(x^{2n} )