Производные функций

Формулы для первых производных различных функций:

a^,=0\qquad\qquad\qquad (ax)^,=a\qquad\qquad\qquad(x^{a})^,=ax^{a-1} \\ (e^x)^,=e^x \qquad\qquad\qquad (\ln{x})^,=\frac{1}{x}\qquad\qquad\qquad(\log_a x)^,=\frac{1}{{x\ln a}}\\ (\sin{x})^,=\cos \qquad\qquad\qquad (\cos{x})^,=-\sin\\ (tgx)^,= \frac{1}{{\cos ^2 x}}\qquad\qquad\qquad(ctgx)^,=- \frac{{1}}{{\sin ^2 x}}\\ (\arcsin x)^, = \frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}\qquad\qquad(\arccos x)^, = -\frac{{1}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \\ (arctgx)^,= \frac{1}{{1 + x^2 }} \qquad\qquad\qquad (arcctgx)^, = -\frac{1}{{1 + x^2 }} \\ (shx)^, = chx \qquad\qquad\qquad (chx)^, = shx\\ (thx)^, = \frac{1}{{ch^2 x}}\qquad\qquad\qquad (cthx)^, = -\frac{1}{sh^2 x} \\ (x^x )^, = x^x (\ln x + 1)
(uv)^, = u^,v + uv^, - производная произведения двух функций
(\frac{u}{v})^, = \frac{u^,v - v^,u}{v^2} - производная отношения двух функций
f(g(x))^,=f^,(g(x))\cdot g^,(x)=f^,_g\cdot g^,_x - производная сложной функции

 

Формулы для производных высших степеней:

(a^x )^{(n)} = a^x \ln ^n a \\ (\sin ax)^{(n)} = a^n \sin (ax + \frac{\pi n}{2}) \\ (\cos ax)^{(n)} = a^n \cos(ax+\frac{\pi n}{2}) \\ ((ax + b)^y )^{(n)} = a^n y(y - 1)...(y - n + 1)(ax + b)^{y - n} \\ (\log _a \left| x \right|)^{(n)} = \frac{{( - 1)^{n - 1} (n - 1)!}}{{x^n }} \\ (au + bv)^{(n)} = au^{(n)} + bv^{(n)} \\ (uv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k u^{n - k} v^k },\qquad\qquad C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} \\ (arctgx)^{(n)} = ( - 1)^k (2k)! \\ d^n y = f^{(n)} (x)dx^n \\ d^n (au + bv) = ad^n u + bd^n v \\ d^n (uv) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k d^{n - k} u \cdot d^k v}